그래프 그리기

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평면의 그래프

평면 [math]x+4y-3z=1[/math]의 그래프를 그려봅시다.

  • 먼저 평면을 나타내고자 하는 삼차원 공간의 영역을 정합시다. 일단 임의로 [math]R=\{(x,y,z)|-1\le x,y,z\le\}[/math]라 하겠습니다. (영역의 크기가 작으면 평면이 영역안에 나타나지 않을 수 있습니다 그러한 경우에는 다시 영역의 크기를 고쳐줍시다.)

graph 1.png

  • 다음으로 이 정육면체 영역과 평면이 만나는 교선을 생각해 봅시다. 평면의 그래프란 집합 [math]\{(x,y,z)|x+4y-3z=1\}[/math]입니다. 이 집합과 영역 [math]\{(x,y,z)|x=1,-1\le y,z\le1\}[/math]의 교차점의 집합이 교선이 됩니다. 즉,
    [math]\{(x,y,z)|x+4y-3z=1,x=1,-1\le y,z\le1\}[/math]
    의 그래프를 그리고자 합니다. 이는 결국 [math]4y-3z=0[/math]의 그래프를 [math]-1\le y,z\le1[/math]의 범위 내에 그리는 것과 같습니다.

graph 2.png

  • 이 과정을 나머지 다섯 면([math]x=-1,y=1,y=-1,z=1,z=-1[/math])에 대해서 반복합니다. 이 계산 과정을 쉽게 하기 위해 평면이라는 특성을 이용해 봅시다. 평면 [math]x+4y-3z=1[/math]과 정육면체 영역의 각 면의 교선은 직선으로 나타날 것입니다. 이 직선을 그리기 위해서는 각 면의 경계, 즉 각 변과의 교차점 두개만을 찾으면 됩니다. 예를 들어 [math]x=1[/math]평면의 경우,
[math]x=1\Rightarrow 4y-3z=0[/math]
[math]y=1\Rightarrow z=4/3[/math] (범위내에 없음)
[math]y=-1\Rightarrow z=-4/3[/math] (범위내에 없음)
[math]z=1\Rightarrow y=3/4[/math] ... 점 [math]A=(1,3/4,1)[/math]
[math]z=1\Rightarrow y=-3/4[/math] ... 점 [math]B=(1,-3/4,1)[/math]
  • 이제 점 [math]A[/math]이 놓인 또다른 면 [math]z=1[/math]에서 다시 경기를 그려봅시다. 이는 [math]x+4y=4[/math]의 그래프입니다. 이를 xy-평면에 그리고 다시 돌려 붙이는 작업을 하다보면 실수할 수도 있습니다. 따라서 위에서 했던 계산을 그대로 따라해 봅시다.
[math]z=1\Rightarrow x+4y=4[/math]
[math]y=1\Rightarrow x=0[/math] ... 점 [math]C=(0,1,1)[/math]
[math]y=-1\Rightarrow x=8[/math] (범위내에 없음)
[math]x=1\Rightarrow y=3/4[/math] ... 점 [math]A=(1,3/4,1)[/math]
[math]x=-1\Rightarrow y=5/4[/math] (범위내에 없음)

graph 3.png

  • 이제 점 [math]C[/math][math]y=1[/math]평면에 놓여있으므로 이 면과 주어진 평면의 교선을 생각해 봅시다. 교선의 그래프는 [math]x-3z+3=0[/math]로 주어질 것입니다. 다시 계산을 반복하면
[math]y=1\Rightarrow x-3z+3=0[/math]
[math]z=1\Rightarrow x=0[/math] ... 점 [math]C=(0,1,1)[/math]
[math]z=-1\Rightarrow x=-6[/math] (범위내에 없음)
[math]x=1\Rightarrow z=4/3[/math] (범위내에 없음)
[math]x=-1\Rightarrow z=2/3[/math] ... 점 [math]D=(-1,1,2/3)[/math]

graph 4.png

  • 계속해서 평면 [math]x=-1,z=-1[/math]에 대해서도 계산해 봅시다. (마지막 평면은 [math]z=-1[/math]이 될 것입니다. 왜냐하면 점 [math]B[/math][math]z=-1[/math]에 놓여있기 때문입니다.)
[math]x=-1\Rightarrow 4y-3z=2[/math]
[math]z=1\Rightarrow y=5/4[/math] (범위내에 없음)
[math]z=-1\Rightarrow y=-1/4[/math] ... 점 [math]E=(-1,-1/4,-1)[/math]
[math]y=1\Rightarrow z=2/3[/math] ... 점 [math]D=(-1,1,2/3)[/math]
[math]y=-1\Rightarrow z=-2[/math] (범위내에 없음)
[math]z=-1\Rightarrow x+4y=-2[/math]
[math]y=1\Rightarrow x=-6[/math] (범위내에 없음)
[math]y=-1\Rightarrow x=2[/math] (범위내에 없음)
[math]x=1\Rightarrow y=-3/4[/math] ... 점 [math]B=(1,-3/4,1)[/math]
[math]x=-1\Rightarrow z=-1/4[/math] ... 점 [math]E=(-1,-1/4,-1)[/math]

graph 5.png

  • 여기에 [math]-3x+6y+7z=0[/math]의 그래프를 함께 그려봅시다. ([math]x=1[/math] 평면에서 부터 교선을 그리기 시작하여 위에서 한 방식대로 이어나가면 됩니다.) 여기에서 직접 이동, 확대해 보세요.

graph 6.png