2015 SE114 매트랩

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2015년 가을학기 SE102: 다변수 미적분학SE114: 다변수 미적분학 연습의 매트랩 실습 페이지입니다.

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주차별 매트랩 실습 자료

1주차 (2015.9.1.~2015.9.4.)

  • 연습문제 (pp48-52)
    1. (3장 1번문제) [math]P_0=\langle1,2,1\rangle,L_1=\langle1,0,1\rangle,L_2=\langle-1,2,0\rangle,[/math] 그리고 [math]L_3=\langle0,3,1\rangle[/math]이라고 하자. hold on를 사용하여 이들 세 기울기 벡터들과 함께 [math]P_0[/math]을 지나는 세 선들을 같은 그림에 나타내어라. 함수 arrow3을 이용하여 각각의 선에 기울기 벡터를 추가하여라. 방위각이 75도, 고도가 60도가 될 때까지 그림을 회전시켜 보라. 다음에 각 선 [math]l_1,l_2,l_3[/math]과 축 들에 라벨을 붙어보라.
      • Hint: 그래프 창에서 3차원 회전을 활성화시키면 좌측 하단에 Az:... El:... 와 같이 숫자가 뜨는 것을 볼 수 있다. 여기서 Az는 Azimuth(방위각)을 뜻하고 El은 Altitude(위도)를 뜻한다. 이 각은 마우스로 움직여서 맞출 수도 있지만 그래픽 명령어 view를 이용해서 자동으로 맞출 수도 있다.
    2. (3장 8번문제) [math]P_0=\langle1,2,-1\rangle,N_1=\langle2,1,-1\rangle,N_2=\langle-1,1,3\rangle[/math]이라고 하자.
      • planehold on를 이용하여 [math]P_0[/math]를 지나는 두 평면들을 같은 그림에 나타내어라.
      • [math]L=N_1\times N_2[/math]라고 하자. 위에서 얻은 그래프 상에 교차선을 추가시켜라. 교차선이 뚜렷이 보일 때까지 그림을 회전시켜 보라. 축에 라벨을 붙여본다.

2주차 (2015.9.7.~2015.9.11.)

  • 4장 공간의 곡선 (pp53-73)
    • 곡선의 표현
      • 2차원 매개곡선 그리기: plot 또는 ezplot 사용
      • 3차원 매개곡선 그리기: plot3 또는 ezplot3 사용
      • inline 함수를 이용한 곡선 그리기
    • 접선 벡터와 속도
      • for-end를 이용한 곡선의 길이 구하기
  • 연습문제 (pp74-80)
    1. (5번문제) 질량 [math]m=1(kg)[/math]인 발사체가 수평으로부터 [math]\theta[/math]의 각도에서 속도 [math]v_0[/math]로 발사되었다. 이 운동의 성분들은 다음과 같다: [math] r(t)=\langle v_0t\cos\theta,v_0t\sin\theta-\frac{gt^2}{2}\rangle[/math] 여기서 [math]g=9.8m/s^2,v_0=50m/s[/math]라 하자.
      • t=0:0.01:5라 하자. 2차원 그래프 명령어 plot를 사용하여 [math]\theta=10,20,30,40,50,60,70,80[/math]° 일 때 궤적을 그려보라. 명령어 hold on를 사용하여 모든 곡선들을 하나의 그래프에 나타내어라. 명령어 axis([0 80 0 50])를 사용하여 발사체가 땅에 닿을 때 까지만 표시하여라.
      • [math]\theta[/math]를 변화시켜 발사체가 최대 거리에 도달하는 각도를 구하여라.
    2. (8번문제) [math]\alpha\ge0[/math]라 하고 [math]\Gamma[/math]를 다음과 같이 매개화된 곡선이라 하자: [math]q(t)=\langle\cos^3t,\sin^3t,\alpha t\rangle,\quad0\le t\le 2\pi[/math]
      • 몇 개의 [math]\alpha[/math] 값에 대해 inlineplot3를 이용하여 곡선의 그래프를 그려라. [math]\alpha\gt0[/math]이면 매끄러운 곡선이 얻어지는가? 속도나 속력을 계산하여 이를 설명해 보자.
      • 매개 곡선 [math]\Gamma[/math][math]z[/math]축 성분을 변경하여 [math]p(t)=\langle\cos^3t\sin^3t,\cos2t\rangle[/math]라 두자. 이 곡선을 아스트로이드라고 한다. [math]0\le t\le 2\pi[/math]에서 inlineplot3를 이용하여 이 곡선의 그래프를 그려라. 첨점(critical point)이 존재하는가? 각 점에서의 속도를 계산하여라. [math]0[/math]은 어디에 위치하는가? 기호 처리기를 이용하여 곡률을 계산하여라. 특이점들은 어느 위치에 존재하는가?
      • 명령어 ezplot3를 이용하여 각 첨점에서 점이 어떻게 느려지는지를 확인해 보자. (ezplot3(x,y,z,'animate')를 이용하자.)

3주차 (2015.9.14.~2015.9.18.)

  • 5장 2변수 함수
    • 곡면의 그래프
      • 명령어 meshgridsurf를 이용하여 2변수 함수의 그래프 그리기
      • m-파일함수 qsurf.m
      • 명령어 ezsurf, ezmesh를 이용한 그래프 그리기
      • syms를 이용해 심볼릭 함수를 정의하기
    • 편미분과 방향미분
      • m-파일함수 xslice.m, yslice.m를 이용해 그래프의 절단면 도시하기
  • 연습문제 (pp116-118)
    1. (5장 1번문제) 보기 5.2를 따라 [math]\Delta x=\Delta y=0.1[/math]로 하여 정사각형 [math]\{-2\le x,y\le2\}[/math]상에 격자를 구성하여 보자. 이 정사각형에 다음과 같은 함수들의 그래프를 각각 그려라. 각 함수에 대하여 함수를 인라인 함수로 정의하는 간단한 스크립트 m-파일을 작성하고 격자를 구성하여 그래프를 그린다. 축에 라벨을 붙여라. 다음에 이들 가운데 어느 하나에 격자 파라미터 [math]n[/math]의 값을 바꾸어 가면서 qsurf.m명령어를 적용하여 보라.
      1. [math]f(x,y)=x^2-y^2[/math]
      2. [math]f(x,y)=\sin(x+y)[/math]
      3. [math]f(x,y)=\cos(x^2+y^2)[/math]
    2. (5장 7번문제) [math]f(x,y)=x|y|[/math]라 하자.
      1. 정사각형 [math][-1,1]\times[-1,1][/math]상에 이 함수의 그래프를 그려라.
      2. [math]y=-0.5,0,0.5[/math]에서 m-파일 xslice.m를 사용하여라. [math]f_x(x,y)[/math]가 존재함을 보여라. [math]f_x(x,y)[/math]를 직접 계산하여 보라.
      3. [math]x=-0.5,0,0.5[/math]에서 m-파일 yslice.m를 사용하여라. 그래프와 절단면이 교차선의 기울기를 보고 [math]y\gt0[/math]일 때 [math]f_y(x,y)=x[/math]이며 [math]y\lt0[/math]일 때 [math]f_x(x,y)=-x[/math]임을 유추하여라.
      4. [math]y[/math]절단면들을 이용하여 [math]x\neq0[/math]일 때 [math]f_y(x,0)[/math]가 존재하지 않는 이유를 설명하여라. [math]f_y(0,0)[/math]에 대해서는 어떠한가? [math](0,0)[/math]을 지나는 [math]y[/math]절단면을 조사하고 차분들로부터 [math]f_y(0,0)[/math]을 계산하여라.

4주차 (2015.9.21.~2015.9.25.)

  • 6장 3변수 함수와 파라미터 표면
    • 수준 곡선 (등위선)
      • 명령어 contour로 등위선 그리기
      • 명령어 pcolor로 등위선을 색으로 표현하기
    • 등위면
    • 고체의 색 분할
  • 연습문제 (p143)
    1. [math]f(x,y,z)=e^{-(x-1)^2-y^2-z^2}-e^{-(x+1)^2-y^2-z^2}[/math]라고 하자.
      1. 영역 [math]-2\le x,y,z\le2[/math]에서 impl.m를 수행하여라. [math]c=0.2,0.5,0.7,0.8[/math]에 대하여 수준집합 [math]S_c[/math]를 나타내어라. 보기 6.1에서와 같이 이들을 동일한 그림상에 나타내어라.
      2. 다양한 [math]c[/math]값들을 조사하여 수준집합 [math]S_c[/math][math]c<c_*[/math]에서 하나의 성분만을 가지며 [math]c>c_*[/math]일 때 두 성분들을 가지게 되는 [math]c_*[/math]값을 구하여라.
      3. 수준집합 [math]S_c[/math][math](0,0,0)[/math]에서 첨점을 갖는다. 이 점에서는 표면에 대한 기울기 평면이 정의되지 않는다. [math]\nabla f(0,0,0)=0[/math]임을 보여라.
    2. 지진 데이터에 따르면 어떤 지역에서 암석의 밀도는 다음과 같이 주어진다고 한다:
      [math]\rho(x,y,z)=(1-z)e^{-0.2x-0.3y^2}+101[/math]
      영역 [math]R=\{0\le x,y,z\le2\}[/math]에서 밀도함수를 조사하고자 한다. 각 방향을 [math]40[/math]등분하여 [math]R[/math]위에 3차원 격자를 구성하여라. 명령어 slice를 사용하여 [math](0,0,0)[/math]을 지나는 절단면들의 집합을 구하여라. rotate3d를 이용하여 그림을 회전시켜 이 구역을 점 [math](2,2,2)[/math]에서 볼 수 있도록 하여라. 컬러바를 추가시켜라.
      1. 어디에서 암석의 밀도가 가장 큰가?
      2. [math]x=2,z=0[/math]을 따라 암석의 밀도는 거의 일정하다. 컬러바를 이용하여 이 선에 따른 일정한 밀도를 추정하여라.
      3. 함수 [math]y\mapsto\rho(2,y,0)[/math]의 그래프를 그리고 slice단면으로부터의 추정값과 비교하여라.

5주차 (2015.9.28.~2015.10.2.)

  • 5장 6절 기울기 벡터와 수준곡선
  • 5장 7절 접선평면 근사
    • 접평면의 방정식
    • 접선근사 추정
    • 명령어 max를 이용해 최대근사 구하기
  • 연습문제 (p118-120)
    • (9번 문제) 다음 함수에 대한 m-파일 u.m을 작성하여라:
      [math]u(x,y)=(-4x^3+3x^2+1)(y-y^2)[/math]
      [math]u(x,y)[/math]는 단위 정사각형 [math]Q=\{0\le x,y\le1\}[/math]에서 점 [math](x,y)[/math]의 온도이다. 각 점에서의 열속은 음의 기울기벡터이다. 즉 [math]-\nabla u(x,y)=-\{u_x(x,y),u_y(x,y)\}[/math].
      1. [math]u_x(0,y)=0[/math]이며 [math]Q[/math]의 다른 모서리들에서는 [math]u=0[/math]임을 직접 보여라. 이는 왼쪽 모서리가 단열되어 있으며 다른 세 모서리에서는 온도가 [math]0[/math]로 유지됨을 의미한다.
      2. [math]\Delta x=\Delta y=0.05[/math]로 하여 [math]Q[/math]에 격자를 구성하여라. 명령어 surf(X,Y,u(X,Y))를 이용하여 [math]Q[/math]상에 [math]u[/math]를 나타내어라. 어디에서 가장 높은 온도가 나타나는지, 그리고 모서리 [math]x=0[/math]에서 국면의 모양은 어떠한지를 주목하여라.
      3. [math]u[/math]의 기울기를 기호적으로, 혹은 직접 계산하여라. [math]u_x[/math][math]u_y[/math]에 대한 m-파일을 작성하거나 이를 인라인 함수로 정의하여라. 다음에 아래의 명령어들을 입력하여라:
>> U = u(X,Y) ;
>> Ux = ux(X,Y) ;
>> Uy = uy(X,Y) ;
>> contour(X,Y,U,20) ;
>> hold on ;
>> quiver(X,Y,-Ux,-Uy) 
마지막 명령어는 열속의 벡터필드 [math](x,y)\mapsto(-u_x(x,y),-u_y(x,y))[/math]를 나타내기 위하여 격자의 각 점에 화살표를 부여한다.
수준 곡선들에 대한 열속의 방향은 무엇인가? 뜨거운 지점은 어디이며 열은 어느곳으로 흐르고 있는가?
수준곡선들이 모서리 [math]x=0[/math]를 만나는 각도는 얼마인가? 정사각형의 그 모서리에서 열속의 방향은 무엇인가? 이를 물리적으로 어떻게 설명할 것인가?
열속 벡터들이 다른 모서리들에 대하여 수직인 이유는 무엇인가?
  • (12번 문제) [math]f(x,y)=e^x\cos(x+y)[/math]라고 하자.
    1. [math](-1,1)[/math]에서 [math]f[/math]에 대한 기울기 평면 근사를 직접 계산하여라. 이를 선형근사 [math]l(x,y)[/math]라 부르기로 한다.
    2. qsurf.m를 사용하여 정사각형 [math]\{-2\le x\le0,0\le y\le2\}[/math]상에 [math]f[/math][math]l[/math]의 그래프를 모두 그려라. 두 그래프들 사이의 높이를 조사하여 정사각형 상에서 [math]\max|E|=\max|f(x,y)-l(x,y)|[/math]의 값을 추정하여 보라.
    3. 보기 5.10의 오차추정 과정을 반복하는 m-파일을 작성하여라. [math]h=0.5,0.25,0.125[/math], [math](x_0,y_0)=(-1,1)[/math]일 때 정사각형 [math]Q_h\{|x-x_0|,|y-y_0|\le h\}[/math]상에서 최대오차 [math]f(x,y)-l(x,y)[/math]를 추정하여라. [math]h[/math]를 절반으로 할 때 오차는 얼마나 줄어드는가?

6주차 (2015.10.5.~2015.10.9.)

1 ~ 5주차 복습

7주차 (2015.10.12.~2015.10.16.)

1 ~ 5주차 복습

8주차 (2015.10.19.~2015.10.23.)

중간고사

9주차 (2015.10.26.~2015.10.30.)

  • 8장 1절 임계점과 2차미분 테스트
    • 미분을 이용한 임계점 찾기
    • 임계점의 성격 판별 : 2차미분 테스트, 헤세(Hesse) 판정법
    • diff, solve 명령어 사용법
  • 8장 2절 최대값과 최소값의 계산
    • 명령어 findcrit.m를 이용해 임계점 구하기
  • 8장 3절 제약조건이 있는 최대 및 최소문제
    • 라그랑즈 승수법
    • 명령어 lagrange.m를 이용해 제약조건내에 최대,최소 구하기
  • 연습문제 (p192-194)
    • (3번 문제) 이변수 함수 [math]f(x,y)=\sin(x)/(1+(y-x)^2)[/math]를 생각하자.
      • (a) 정사각형 영역 [math][-3,3]\times[-3,3][/math]위에서 [math]f[/math]의 그래프를 그려라. 하나의 언덕(hill)과 하나의 계곡(valley)가 그래프에 나타날 것이다.
      • (b) m-file findcrit.m를 이용해서 최대값이 되는 점을 추정(estimate)해 보아라. 또한, 이 함수의 임계점(critical point)을 손으로, 아니면 매트랩에 내장된 기호 계산(symbolic computation) 명령어를 이용해서 구해 보아라.
      • (c) findcrit.m를 이용해서 최소값이 되는 점도 찾아보아라.
    • (5번 문제) 이변수 함수 [math]f(x,y)=x^4-2 x^2-y^3+3y[/math]를 생각하자. 이 함수는 영역 [math] -2\leq x,y \leq 2[/math]에서 6개의 임계점을 가진다.
      • (a) 예를 들어 [math]50\times 50[/math] 같은 촘촘한 격자를 정사각영역 [math] -2\leq x,y \leq 2[/math]위에 만들자. 그리고, levels = -4:.4:4로 하고, contour(X,Y,Z, levels)를 이용해, 6개의 임계점을 위치를 파악하고, 수준곡선(level curve)을 잘 살펴서 각 임계점이 극소인지 극대인지, 아니면 안장점(saddle)인지 파악해 보라.
      • (b) 직접 손으로 1차 미분 테스트 [math]f_x(x,y)=0[/math], [math]f_y(x,y)=0[/math] 을 풀어 임계점을 구하고, 각 점에 대해서 2차 미분테스트 (헤세 판정법)을 써서 임계점의 성격을 파악한 다음, (a)의 결과와 비교해 보시오.
    • (11번 문제) 이변수 함수 [math]f(x,y)[/math][math]f(x,y)=x^2-y^2+3xy[/math]라고 하고, 영역 [math]K[/math][math]K=\{(x,y) : x^2+2 y^2\leq 1\}[/math]라 하자.
      • (a) m-file lagrange.m를 이용해서, 언제 [math]f[/math]의 수준곡선(level curve)들이 영역 [math]K[/math]의 경계(boundary)에 접하는지 추정해 보시오. 이로 부터, 영역 [math]K[/math] 위에서 함수 [math]f[/math]의 최대값은 얼마이고 어디에서 생기는지 근사적으로 구해 보시오. 최소값에 대해서도 똑같은 문제를 풀어 보시오.
      • (b) 같은 문제를 풀기 위해, 이번에는 라그랑즈 방법을 풀기위한 방정식 [math]f_x(x,y)=\lambda \cdot g_x(x,y), f_y(x,y)=\lambda \cdot g_y(x,y), g(x,y)=0[/math]을 아래의 예시와 같이 기호적으로 매트랩을 이용해 풀어보시오.
>> syms x y lambda ;
>> % 라그랑즈 연립방정식의 첫번째 방정식을 A=0 이라하면
>> eq1 = A ;
>> % 라그랑즈 연립방정식의 두번째 방정식을 B=0 이라하면
>> eq2 = B ;
>> % 경계의 방정식을 C=0 이라하면
>> g = C ;
>> [lambda x y] = solve(eq1,eq2,g);
>> double([lambda x y])
위 예시에서 맨 마지막에는 근을 double형 값을 얻기 위해 [lambda x y]대신 double([lambda x y])가 쓰였다.

10주차 (2015.11.2.~2015.11.6.)

  • 9장 1절 이중적분
    • 사용자 함수 riemann.m를 이용해 정적분을 도시하기 (예제 9.1)
f = inline ('x.^3+x+y','x','y');
corners = [1 2 0 3];
riemann(f,corners,1)
  • 매트랩 적분기 int를 이용해 심볼릭하게 정적분 값 찾기 (예제 9.2)
syms x y
f = x^3 + x + y ;
int( int( f, y, 0, 3), 1, 2)
syms x y a b c d 
f = x^3 + x + y;
int( int( f, y, c, d), a, b)
  • 매트랩 기본 함수 dblquad를 이용해 수치적 정적분 값 찾기 (예제 9.4)
f = inline ('exp(-x.^2-y.^2)*(4/pi)', 'x','y');
dblquad (f, 0, 0.5, 0, 1)
  • 직사각형이 아닌 영역에서의 정적분 값 찾기 (예제 9.5)
syms x y
f = x*y
F = int( f, y, x*(x-3), sin(x))
int (F, 0, 2.4)
double (ans)
  • 9장 4절 삼중적분
    • 기호 적분기 int를 이용해 삼중적분 계산하기 (예제 9.9)
syms x y z 
ff = (y+z)*sin(pi*(x^2+y^2));
int( int( int( ff,x,0,1), y,0,1), 0,1) 
double(ans)

11주차 (2015.11.9.~2015.11.13.)

  • 9장 3절 야코비변환
    • 사용자 함수 trf.m를 이용해 변환함수의 의미 이해하기
  • 연습문제
    • (10번 문제) 타원체 [math]G=\{x^2+y^2/4+z^2/9\le1\}[/math]의 밀도 함수가 [math]\rho(x,y,z)=\exp(-x^2-y^2-z^2)[/math]라 하자.
      1. 영역 [math]\{x^2+y^2/4\le1\}[/math]상의 함수 [math]z=\pm3\sqrt{1-x^2-y^2/4}[/math]의 그래프를 이용해 주어진 삼차원 물체를 도시하시오.
      2. 이 물체의 질량을 구하여라. 먼저 [math]x=u,y=2v,z=3w[/math]로 변환한 뒤, 구면좌표계로 변환하여 적분기 int 또는 dblquadintegral3를 이용하여 계산하시오. (기호적분기로 계산이 안됩니다. 수치적분기인 integral,integral2,integral3를 사용해 봅시다.)

12주차 (2015.11.16.~2015.11.20.)

9-11주차 복습

13주차 (2015.11.23.~2015.11.27.)

  • 10장 곡선과 평면에서의 스칼라 적분
    • 교재의 예제에서는 simp2.m 또는 tsurf.m와 같은 사용자 함수를 주로 사용합니다.
    • 그러나 연습시에는 최대한 사용자 함수 사용을 지양하고 매트랩 기본 명령어 및 함수를 사용하여 풀어봅시다.
    • 기호적분시 int를, 수치적분시 dblquad(이중적분) 또는 integral(단일적분), integral2(이중적분), integral3(삼중적분)를 사용합니다. 각 명령어의 사용법을 잘 숙지합시다.
  • 13주차 연습문제 풀이
  • 연습문제
[math]10\le x\le 15[/math] 상에 정의된 곡선
[math]z = -0.12x^3 + 5.4x^2 - 82x + 420,\quad 10\le x\le15[/math]
에 대해 다음 물음에 답하시오.
  1. 이 함수의 그래프를 그리시오. ezplot 또는 plot명령어를 사용한 뒤, xlabel, ylabel을 이용하여 x축, z축을 표시한다.
  2. 이 곡선의 길이를 구하시오. 참고로 [math] X(t) = \lt f(t), g(t)\gt,\quad a\le t\le b[/math]로 매개화된 곡선의 길이는
    [math]\int_a^b|X'(t)|dt[/math]
    이다.
  3. 각 점에서의 밀도가 [math]\rho(x) = 14.2\exp(-0.7x)[/math]라 할때, 이 곡선의 질량을 구하시오.
이제 위 곡선을 z축으로 회전하여 삼차원 곡면을 얻었다 하자.
  1. 이 곡면의 그래프를 그리시오. 위와 마찬가지로 xlabel, ylabel, zlabel을 이용하여 x축,y축,z축에 라벨을 붙여보자.
  2. dblquad를 이용하여 이 곡면의 표면적을 구하시오. (힌트: 곡면을 [math]X(r,\theta)=\langle f(r,\theta),g(r,\theta),h(r,\theta)\rangle[/math]로 매개화하여
    [math]\int\int_SdS=\int_0^{2\pi}\int_{10}^{15}|X_r\times X_\theta|drd\theta[/math]
    를 이용하자.)
  3. 곡면 위의 각 점에서의 밀도가 [math]\rho(x,y,z)=14.2\exp(-0.7\sqrt{x^2+y^2})[/math]라 하자. 이 곡면의 질량을 구하시오.

14주차 (2015.12.1.~2015.12.4.)

  • 곡선과 표면에서의 벡터장의 적분
    • 여기서도 연습시에는 최대한 사용자 함수 사용을 지양하고 매트랩 기본 명령어 및 함수를 사용하여 풀어봅시다.
    • 이번 주차에서는 공간의 벡터장들을 다루는 curl, divergence, cross, dot, subs를 주로 사용합니다.
  • 14주차 연습문제 풀이
  • 연습문제
3차원 공간위에 곡면 [math]S[/math]와 그로부터 유도된 경계곡선을 [math]\partial S[/math]라 할 때, [math]S[/math]위에 정의된 벡터장 [math]\mathbb{F}[/math]에 대해 스토크스(Stokes)의 정리는
[math]\int\int_{S}curl\mathbb{F}\cdot\mathbb{n}dS=\oint_{\partial S}\mathbb{F}\cdot d\mathbb{s}[/math]
임을 말해 줍니다. 아래의 예제를 따라서 풀며, 매트랩을 이용하여 스토크스의 정리를 확인해 봅시다.
우선 벡터장의 내적과 외적, curl 미분, div 미분 하는 방법 그리고 벡터장을 곡면에 대한 매개화로 표현하는 연습을 해 봅시다.
 
% First, define two 3-dimensional vector field F,G as follows:
syms x y z u v real
F=[2*x*y, x-z, z^2];
G=[x, y, x+y+z];

% define position vector field XYZ
XYZ=[x,y,z];

% compute curl of F
curl(F, XYZ)

% compute div of G
divergence(G, XYZ)

% compute inner(dot) product of F and G
dot(F,G)

% outer(cross) product of F and G
cross(F,G)

% set a parametrization for upper-hemisphere (say S) using two parameters `u,v'
U=[u,v,sqrt(1-u^2-v^2)];

% transform the vector field F in 3-space into the vector field FU on the S
FU=subs(F,XYZ,U)
여기서 심볼릭 변수 지정시 real을 쓴 것은 이 변수들이 실수를 다루는 것임을 명시해, dot product를 계산할 때 우리가 예상하는 것처럼 매트랩이 내적을 계산하게 하기 위해서 입니다. 마지막 줄에 subs는 대입명령으로 x,y,z 변수로 되어있는 벡터장 F에 x,y,z변수 자리에 (벡터장 XYZ로 표시), u,v-매개화 (벡터장 U로 표시)를 대입하라는 뜻입니다.
이제, 이 명령들을 이용하여 3차원 공간에서 원점을 중심으로 반지름이 1인 상반구(upper-hemisphere) [math]S[/math]위에 정의된 벡터장
[math]\mathbb{F}=\big(\frac{x}{x^2+y^2+z^2},\frac{2y}{x^2+y^2+z^2},\frac{3z}{x^2+y^2+z^2}\big)[/math]
를 생각하고, 매개화
[math]X(u,v)=(u,v,\sqrt{1-u^2-v^2})[/math]
를 고려하여 다음의 적분을 구해보자.
  1. 면적분 [math]\int\int_{S}curl\mathbb{F}\cdot\mathbb{n}dS[/math]을 매트랩을 이용해 계산하시오.
  2. 선적분 [math]\oint_{\partial S}\mathbb{F}\cdot d\mathbb{s}[/math]을 매트랩을 이용해 계산하시오. 여기서 [math]\partial S[/math][math]S[/math]의 주어진 매개화 [math]X[/math]에 의해, 유도된 경계곡선이다.
  3. 두 적분값을 비교하여 스토크스의 정리를 확인하시오.

15주차 (2015.12.7.~2015.12.11.)

  • 연습문제
3차원 공간내의 영역 [math]D[/math]와 그 경계곡면을 [math]T:=\partial D[/math]라 할 때, [math]D[/math]위에 정의된 벡터장 [math]\mathbb{F}[/math]에 대해 가우스(Gauss)의 발산정리는
[math]\iiint_{D}div\mathbb{F}~dV=\iint_{T}\mathbb{F}\cdot \mathbb{n} ~dS[/math]
임을 말해 줍니다. 아래의 예제를 따라서 풀며, 매트랩을 이용하여 발산정리를 확인해 봅시다.
3차원 공간에서 정의된 함수
[math]f=(x^2+y^2+z^2)^2[/math]
를 생각하고, 벡터장 [math]\mathbb{F}[/math][math]f[/math]의 기울기벡터장(gradient vector field) [math]\nabla f[/math]라고 합시다. 벡터장 [math]\mathbb{F}[/math]의 영역 [math] D ~:~\{(x,y,z)~|~x+y+z\leq1, x\geq0, y\geq0, z\geq0\}[/math]에 대한 발산량(flux)을 다음과 같이 계산해 보자.
  1. 삼중적분 [math]\iiint_{D}div\mathbb{F}~dV[/math]를 매트랩을 이용해 계산하시오.
  2. 면적분 [math]\iint_{T}\mathbb{F}\cdot \mathbb{n}~dS[/math]를 매트랩을 이용해 계산하시오. 여기서 [math]T[/math][math]D[/math]의 경계로 주어진 곡면이다.
  3. 두 적분값을 비교하여 가우스의 발산정리를 확인하시오.

16주차 (2015.12.14.~ 2015.12.18.)

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